ตัวอย่างทฤษฎีบทพีทาโกรัส

 ตัวอย่างทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉาก(C) ยาว c
ด้านตรงข้ามมุม A ยาว  a
ด้านตรงข้ามมุม B ยาว  b
ดังรูป

จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้
c²=a²+b²


ทฤษฎี บทพีทาโกรัสนี้ ง่ายมากๆครับ และสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้ตลอด และชอบออกข้อสอบ o-net เท่าที่ติดตามออกทุกปีครัับ ฉนั้นต้องเข้าใจและต้องทำโจทย์เยอๆครับ
ถ้าแปลเป็นภาษาพูดง่ายๆ ของทฤษฎีนี้ก็คือ  ด้านตรงข้ามมุมยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองบวกกัน ครับ   มาดูตัวอย่างการนำไปใช้กันครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน  นั่นคือ
c²=a²+b²
จากรูป  a=4 , b=3  หาค่าของ c ครับ
จะได้ว่า
c²=4² + 3² 
=16 + 9
= 25
นั่นคือ c²=25
ดังนั้น c=5

ตอบ c ยาว 5 หน่วย


ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้


วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน d
นั่นคือ
d²= 7²+24²
d²= 49+576
d²=625
d=25
ตอบ d ยาว 25 หน่วย

ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน c
นั่นคือ
c²=5²+12²
c²=25+144
c²=169
c=13
ตอบ c ยาว  13 หน่วย


ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่ารูปที่กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราสามารถใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสหาความยาวของสามเหลี่ยมนี้ได้ครับ
จากรูปจะได้ว่า
AB²=AC²+BC²
AB²=8²+15²
AB²=64+225
AB²=289
AB=17
ดังนั้น AB ยาว 17 หน่วยครับ
ตอบ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว  17 หน่วย

ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านที่เหลื่อของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่า
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ PR ยาว 15 หน่วย
ด้าน QR ยาว 12 หน่วย
ต้องหาความยาวของ PQ
เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมุมฉาก ดังนั้น สามารถหาความที่เหลือโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
คือ  ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง = ด้านที่เหลื่อยกกำลังสองแล้วนำมาบวกกัน
นั่นคือ
PR²=QR²+PQ²
แทนค่าความยาวตามที่โจทย์กำหนดให้ลงไปเลยครับ จะได้
15²=12²+PQ² แก้สมการเพื่อหาค่า PQ คับ จะได้
PQ²=15²-12²
PQ²=225-144
PQ²=81
PQ=9
นั่นคือ PQ ยาว 9 หน่วย
ตอบ ความยาวของด้านที่เหลือคือด้าย PQ ยาว  9  หน่วย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ระดับชั้น ม.2

 คณิตศาสตร์ ม.2 : ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า

"ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประชิดมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"

จากรูป จะสังเกตว่า ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินและสีแดง จะเท่ากับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีม่วง เราสามารถเขียนทฤษฎีบทนี้ให้อยู่ในรูป สมการ
c² = a² + b² โดยที่ a และ b เป็นความยาวด้านประชิดมุมฉากทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
วิธีการพิสูจน์อีกแบบแสดงได้ดังรูปด้านล่าง

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื้อหาบทเรียน: ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก

	จาก รูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งที่มีมุม C เป็นมุมฉากเรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียก AC และ BC ว่า ด้านประกอบมุมฉากในจำนวนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด
	โดยทั่วไปนิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B, c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม Cจากรูป c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 5 หน่วยa,b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 3 หน่วย และ 4 หน่วย
	เมื่อสร้างจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป 1. นับตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ด้านที่ a ได้ 9ตารางหน่วยและ ด้านที่ b ได้ 16 ตารางหน่วย 2. ถ้าย้ายตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมบนด้านประกอบมุมฉาก 2 ด้าน นำมาบรรจุลงใน สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะบรรจุ ได้เต็มพอดี 3. สรุปได้ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก จะเห็นว่า 25 = 9 + 16 4.เขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากและ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากได้ดังนี้  หรือ  5. ความสัมพันธ์ที่ได้จากข้อ 4 เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส